Lingkaran

A. PENGERTIAN LINGKARAN
Kurva lengkung sederhana dan teratur yang banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah lingkaran. Buatlah kerucut dari kertas manila, kemudian potong sejajar bidang alas. Nah, permukaan kerucut yang dipotong tadi akan berbentuk kurva yang kita kenal dengan lingkaran.
Dalam matematika, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik pada bidang datar yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran (P). Sedangkan ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada lingkaran dan titik pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran (r).
Jadi sebuah lingkaran dapat dilukis jika titik pusat P dan jari-jari lingkaran r diketahui.
B. PERSAMAAN LINGKARAN BERPUSAT DI O(0, 0)
Ambil sebarang titik pada lingkaran misal P(x ,y) dan titik O sebagai pusat lingkaran. Tarik garis melalui P tegak lurus sumbu x misal di P1. Pandang segitiga OP1P ditulis ΔOP1P. Terlihat bahwa ΔOP1P merupakan segitiga siku-siku dan membentuk sudut
siku-siku di titik P1.Sehingga berlaku teorema pytagoras :
(OP₁)² +  (P₁P)² =  (OP)²
x² +  y² =  r²
Kesimpulan:
x² + y² = r² merupakan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan jari-jari r
Contoh :
Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 3 adalah  x² + y² = 9
Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 5 adalah x² + y² = 25
Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 1 adalah  x² + y² = 1
C. PERSAMAAN LINGKARAN BERPUSAT DI A(a, b)

Misalkan titik P (x, y) ada pada garis lingkarandengan pusat A (a, b). tarik suatu garis dari P arah vertikal bawah tegak lurus dengan sumbu x dan juga tarik garis dari A arah horisontal kanan tegal lurus dengan sumbu y. Maka kedua garis akan berpotongan di satu titik dan namakan titik tersebut P1.

Pandang sebuah segitiga AP1P (tulis ΔAP1P)
AP1 = (x-a)
P1P = (y-b)
Maka panjang r sebagai jari-jari lingkaran berdasarkan phytagoras adalah
(AP₁)² + (P₁P) ² = (AP)²
(x – a)² + (y-b)² = r²
Kesimpulan:
(x – a)² +  (y-b)² =  r² merupakan persamaan lingkaran yang pusatnya A(a, b) dan jari-jari r
Contoh :
Persamaan lingkaran pusatnya (2,3) dan jari-jari 5 adalah   (x – 2)² +   (y-3)² =   25

C. PERSAMAAN UMUM LINGKARAN
Persamaan umum lingkaran dapat didapatkan dengan menjabarkan persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b)
(x – a)² +   (y-b)² =   r²
x² -   2x   +   a² +   y² -  2y  +  b² =   r²
x² +   y² -   2x   -  2y   +   a² +   b² =   r²
x² +   y² -   2x   -  2y   +   a² +   b² -   r² =   0
karena :
- 2x   =   Ax
- 2y   =   By
a² +   b² -   r² =   C
Sehingga persamaan umum lingkaran ditulis     x² +   y² +     Ax     +    By     +   C    =    0